Jak vypočítat průhyb nosníku – základní vzorce

Výpočet průhybu paprsku je důležitý a zodpovědný úkol, který vyžaduje přesnost, pozornost k detailu a znalost konkrétních vzorců. Je to dáno tím, že nesou obrovskou zátěž, zajišťující stabilitu a bezpečnost celého zařízení.

Typy nosníků a jejich charakteristiky

• borovice (má vysokou pevnost a odolnost proti vlhkosti);
• dub (vyznačuje se vysokou tuhostí a odolností vůči nepříznivým vlivům).

Mezi výhody dřevěných trámů patří jejich lehkost, dostupnost, relativní snadnost zpracování a instalace a také jejich přirozený vzhled. Mezi nevýhody patří náchylnost k vlhku, hnilobě, nestabilita vůči napadení škůdci a relativně malá požární odolnost.

Ocelové nosníky se vyznačují vysokou pevností, životností, odolností proti vlhkosti a teplotě a schopností odolávat velkému zatížení. Mezi jejich nevýhody patří vysoká cena, složitost instalace a zpracování.

Základy pevnosti a tuhosti

Průhyb nosníku je vychýlení jeho středu od původní polohy vlivem zatížení.

Tuhost výrobku určuje jeho schopnost odolávat deformaci a jeho pevnost určuje jeho schopnost odolávat zatížení před začátkem poruchy. Tyto parametry hrají klíčovou roli při zajištění bezpečnosti a stability stavebních konstrukcí. Jejich výpočet vyžaduje použití speciálních vzorců a znalosti z oblasti mechaniky a konstrukce.

Výpočet tuhosti nosníku

Tuhost nosníku, nebo jinými slovy modul pružnosti, je parametr, který určuje odezvu výrobku na zatížení. Tento indikátor do značné míry závisí na materiálu, ze kterého je výrobek vyroben, a na jeho průřezu.

Výpočet tuhosti zahrnuje použití specifických vzorců, které zahrnují proměnné, jako je síla působícího zatížení, rozsah, moment setrvačnosti průřezu a modul pružnosti materiálu.

Odhad momentů setrvačnosti a odporu průřezu

Moment setrvačnosti je číselná hodnota, která charakterizuje rozložení hmotnosti předmětu vzhledem k ose rotace. Moment setrvačnosti průřezu umožňuje v rámci výpočtu průhybu nosníku vyhodnotit míru jeho odolnosti proti ohybovému zatížení. Průřezová pevnost popisuje schopnost materiálu odolávat deformaci.

Vzorce a příklady pro výpočet momentů setrvačnosti a průřezového odporu

Pro výpočet těchto parametrů se používají specializované vzorce, které berou v úvahu geometrické charakteristiky nosníku (například šířku, výšku a tvar průřezu) a fyzikální vlastnosti materiálu (zejména modul pružnosti).

Stanovení maximálního zatížení a průhybu nosníku

Maximální zatížení nosníku je největší síla, kterou může přijmout bez rizika selhání. Tento parametr lze určit na základě informací o pevnosti materiálu, ze kterého je nosník vyroben, a geometrii jeho průřezu.

Proces výpočtu maximálního zatížení a průhybu nosníku je založen na použití určitých vzorců. Zahrnují délku výrobku, moment setrvačnosti jeho průřezu, modul pružnosti materiálu a působící zatížení.

Vlastnosti výpočtů průhybu

Je nutné pochopit, že vzorce pro výpočet průhybu nosníku jsou platné pouze za určitých předpokladů.

Proces výpočtu síly paprsku je poměrně jednoduchý. Nejprve pomocí vzorce pro výpočet plochy obdélníku S=bh musíte zjistit plochu průřezu produktu a nezapomeňte odhadnout jeho délku L.

Zatížení Q způsobuje tlak na nosník, což způsobuje jeho vychýlení ve středu. Jeho konce svírají úhel θ. Je nutné si zapamatovat počáteční polohu výrobku f.

V diagramu jsou konce teoretického nosníku volně umístěny, zatímco podpěry jsou pevné. V této souvislosti nedochází k žádné reakci jako u horizontální fixace a konce výrobku se volně pohybují.

Vychýlení předmětu pod tlakem je určeno vzorcem E=R/Δ, kde E je koeficient převzatý z referenční knihy, R je tlak působící na předmět. V tomto případě je Δ koeficient odhalený během procesu vychylování.

Po obdržení všech požadovaných koeficientů můžete určit, jaký bude moment setrvačnosti, pomocí následujícího vzorce:

Pokud bude zatížení nosníku rovnoměrně rozloženo po celé jeho délce, měl by se použít tento vzorec:

Po provedení všech těchto výpočtů je čas na výpočet průhybu pomocí Youngovy metody. To znamená, že paprsek je ohnut tak, že se jeho konce odchylují v různých směrech, přičemž mají různé úhly ohybu. V tomto případě je třeba obě části vzorce vynásobit číslem L a získáme následující rovnici:

Pokud vezmeme v úvahu případ, kdy je jedna strana nosníku bezpečně upevněna a na druhém konci je rovnováha, bude vzorec vypadat takto: Mmax = qL2/8. Pokud použijeme tuto hodnotu ve vzorci k určení ohybu nosníku, dostaneme následující rovnost:

Takže pomocí těchto vzorců a znalosti potřebných počátečních údajů je možné vypočítat průhyb paprsku s dostatečnou přesností. To vám zase umožní vzít v úvahu všechny potřebné faktory během návrhu a výstavby. Provádění takových výpočtů navíc výrazně zvyšuje bezpečnost provozu budovy nebo konstrukce, protože pomáhá předcházet potenciálnímu zhroucení konstrukce v důsledku nedostatečné pevnosti nebo nadměrného průhybu nosníků.

Entita zvaná moment setrvačnosti se vypočítá pomocí vzorce b h2/6 a má označení W. Vzorec vychýlení paprsku se tedy převede do následující podoby:

Ax = Mx/(WE), kde W=M/E

Pro dosažení adekvátní přesnosti měření vychýlení paprsku je důležité správně vypočítat dva hlavní parametry:

• Moment deformace;
• Moment setrvačnosti.

Je třeba si uvědomit, že stav konců nosníků vážně ovlivňuje velikost průhybu. Je důležité zvážit, jak je zatížení aplikováno, kde je aplikováno a jak je rozloženo po celé délce nosníku.

Tyto vzorce jsou použitelné pouze v případě, že je zatížení rozloženo rovnoměrně po celém objemu objektu. Pokud je soustředěna v určitém bodě, provádějí se výpočty pevnosti nosníku pomocí integrálních vzorců.

Pro provádění výpočtů se doporučuje nahlédnout do existujících referenčních knih o vzorcích. Takové příručky, vyvinuté profesionály v oblasti designu, berou v úvahu různé možné situace.

Chcete-li přesněji určit vychýlení paprsku, doporučuje se postupovat podle níže uvedeného pořadí akcí:

• Nejprve musíte vytvořit podrobné schéma studovaného objektu;
• Změřte všechny charakteristiky nosníku, včetně rozměrů průřezu;
• Určete maximální zatěžovací tlak a vypočítejte místo jeho největšího použití;

Poté je třeba zkontrolovat pevnost materiálu, ze kterého je paprsek vyroben, a vyhodnotit stupeň pružnosti předmětu.

Zveme vás na náš telegram!

Uveřejňujeme zde výběry projektů, možnosti krásných řešení interiérů venkovských domů, stavební tipy od hlavního architekta Domamo a další užitečné informace.

Při výpočtu ocelových nosníků podle IInd GPS (podle průhybů) je nutné vytvořit ztužení pro průhyby:

Informace z nápovědy LIRA SAPR (HelpExplanations SteelDeflection kontroly):

Průhyb se kontroluje porovnáním skutečně zjištěného relativního průhybu (L/f) s maximálním možným průhybem pro daný konstrukční prvek.

V této verzi se posudek provádí pouze pro nosníky na základě složení zatěžovacích stavů ve všech kombinacích. Jsou zohledněny koeficienty spolehlivosti zatížení (zadané při vytváření DCS v prostředí LIRA-SAPR PC) a kombinační koeficienty.

Posuny způsobené zatěžovacími stavy s podílem trvání 0 nejsou v tomto výpočtu použity.

Průhyby jsou nalezeny pro každý úsek na základě rozložení MY1, MZ1, QY1, QZ1 po délce prvku. V souladu s tím zvýšení počtu návrhových řezů přispívá k přesnějšímu určení průhybů (zejména při působení součinitelů soustředěné síly).

V režimu výpočtu lokálního prvku (viz systém nápovědy STK-SAPR) je možné vypočítat průhyby pomocí diagramů obálky ohybového momentu v rezervě. To může být vyžadováno při úpravě návrhových kombinací sil (nebo zatížení) a ztrátě spojení s výsledky výpočtu na LIRA-SAPR PC hlavního schématu.

Důležité: Je možné určit nikoli čisté posuny (vzhledem k místním osám Y a Z v nedeformovaném schématu), ale vychýlení vzhledem ke dvěma vybraným podmíněně pevným bodům – kotevním bodům (v případě konzoly např. vzhledem k jeden bod).

Schéma pro stanovení průhybů nosníku s a bez ztužení

Znázorněný fragment ukazuje mechanismus pro určování průhybů (označují se jako di a dk) v konstrukčním prvku s výztuhami aplikovanými na prvky.

Pokud není použito ztužení, předpokládá se, že průhyb je roven celé vzdálenosti k ose X.

Důležité: Pokud je nosník (příčník) rozdělen po své délce mezilehlými uzly, je nutné pro něj vytvořit konstrukční prvek a vytvořit ztužení pro kontrolu průhybů jako u konstrukčního prvku (tj. u nosníku jako celku). Při analýze ocelových konstrukcí se součinitel efektivní délky (pro nosníky, sloupy a vazníky) aplikuje na délku konečného prvku (FE), pokud není specifikován konstrukční prvek (SEC). Pokud je specifikováno CoE, použije se faktor efektivní délky na celkovou délku CoE.

Příklad výpočtu jednopolového nosníku

Výpočtový model rámu s pevnou příčkou a rozdělený na samostatné prvky

Podle regulační dokumentace je průhyb určen působením standardních zatížení. Vzhledem k tomu, že v LIRA SAPR jsou všechna zatížení aplikována na uzly a prvky s jejich návrhovými hodnotami, při určování průhybů program určí standardní hodnotu zatížení jejich dělením součinitelem spolehlivosti.

Můžete vidět, jaké koeficienty spolehlivosti jsou akceptovány, a také je v případě potřeby zadat ručně v okně parametrů výpočtu.

Okno parametrů výpočtu vyvolané z okna pro nastavení parametrů pro ocelové konstrukce

Další informace o úpravě koeficientů bezpečnosti pro ruční výpočet průhybů naleznete v článku „Koeficienty pro provozní zatížení při kontrole průhybů“

Mozaika výsledků kontroly zadaných řezů pro 2. mezní stav

Maximální přípustné L/200=6000/200=30mm

Bez zadání ztužení (absolutním pohybem uzlů nosníku):
((39,8 mm/ faktor spolehlivosti zatížení)/ 30 mm))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%

S přiřazením ztužení (na základě relativního pohybu uzlů nosníku mínus pohyby uzlů podpory):
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Ruční zadání odhadované délky nosníku pro výpočet průhybů

V dialogovém okně pro zadání výpočtových charakteristik ocelového nosníku je skupina parametrů Výpočet podle průhybu.

Informace z nápovědy LIRA SAPR:
Výpočet průhybu – údaje pro výpočet průhybu. Délka rozpětí vozu se vypočítá na základě polohy výztuh. Délka rozpětí je přesná – délka rozpětí při výpočtu se rovná tomuto číslu.

Uvažujme rám z předchozího příkladu, teprve nyní všem konstrukcím přiřadíme ztužení pro průhyby a návrhové délky se pro první případ nastaví automaticky a pro druhý ručně.

Výpočtový model s informacemi o přiřazených návrhových délkách nosníků

Výsledky výpočtu pro průhyby nosníku

Maximální přípustný průhyb při délce 6 m L/200=6000/200=30mm

Maximální přípustný průhyb při délce 4 m L/200=4000/200=20mm

Procento využití maximálním vychýlením

Délka paprsku 6m:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Délka paprsku 4m:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/20)*100%=139,4%

Výpočet špičatých průhybů oblouku

Příkladem je variabilně profilovaný rám (RCF) o rozpětí 18 m Spojení polorámů v hřebeni je kloubové, podepření polorámů na základ je kloubové.

Model konstrukce rámu

V tomto případě musíte v parametrech „Dodatečné charakteristiky“ ručně zadat rozpětí, se kterým program porovná průhyb (automatické určení rozpětí je možné pouze u lineárních nosníků, kde jsou všechny konečné prvky (FE) konstrukčního prvku (CE). ) leží na stejné ose):

Schéma posuvů fz příčky jednoho polorámu (podle lokální osy Z1 tyče)

Mozaika pohybů uzlů podél Z a „Závorky pro vychýlení“ (vyztužena pouze příčka č. 4)

Výsledky stanovení průhybů v STC-SAPR:

Výsledky stanovení průhybů příčníků č. 2 a č. 4

Maximální přípustné L/200=17664/200=88.32 mm

Bez zadání ztužení (absolutní hodnotou na diagramu průhybů fz):
96.7/17644=1/182 – shoduje se s výsledkem výpočtu prvku č. 2

S přiřazením ztužení (podle relativní hodnoty na diagramu průhybů fz):
(96.7-(-6.46))/17644=1/171 – shoduje se s výsledkem výpočtu prvku č. 4

Bez zadání ztužení (na základě absolutní hodnoty pohybů uzlů):
99.8/17644=1/177 – neodpovídá ničemu

Závěr: Výpočty pro průhyby jsou prováděny v lokálním souřadném systému tyče. Průhyb špičatých a válcových oblouků, stejně jako případných zakřivených konstrukcí, musí být určen pohyby uzlů v globálním souřadnicovém systému a ručně porovnávány s maximálními přípustnými hodnotami.

Výpočet průhybů válcového oblouku

Příkladem je válcový oblouk o rozpětí 18 m, zvedací výložník f = 9 m Spojení všech prvků k sobě je tuhé, podpěra na základ je kloubová.

Zatížení na oblouk jsou aplikována jejich vypočtenými hodnotami. Hodnoty zatížení pro stanovení průhybů jsou brány v souladu s SP 20.13330.2016 Zatížení a rázy, tabulka E.1 přílohy E. V tomto příkladu je oblouk krycí konstrukcí, jejíž průhyb musí být určen z konstantní a dlouhé -termínová zatížení (bod 2 tabulky E.1). Pro vizualizaci posunů od standardních hodnot zatížení je nutné vytvořit speciální DSN se standardními hodnotami dlouhodobého zatížení. Zatížení v této RSN je třeba vydělit koeficientem spolehlivosti s přihlédnutím k době trvání. Na konstrukci působí dvě zatížení:

Zatížení 1 – konstantní, faktor spolehlivosti 1.1;
Zatížení 2 – krátkodobé, koeficient spolehlivosti 1.2, zlomek trvání 0.35;

Pojďme vypočítat koeficienty pro přechod na standardní hodnoty

Zatížení 1 Kn=1/1.1=0.91;
Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292

Tabulka RSN s kombinacemi vypočtených a standardních hodnot zatížení s ohledem na dobu trvání.

Mozaika pohybů uzlů válcového oblouku z RSN2

Maximální přípustný průhyb L/200=18000/200=90 mm

Skutečná výchylka (na základě absolutní hodnoty pohybů uzlů): 32.2/18000=1/559 – menší než maximální přípustná hodnota.

Poznámka: Pokud taková konstrukce stojí na vlastních podpěrách, pak je vhodné získat pohyby podpěrných bodů (pro získání relativních pohybů) přes „Mozaiku relativních pohybů“ zadáním referenčního uzlu.